GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Virialsatz</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Virialsatz</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Der Virialsatz (<a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen den <a href="Zeitmittelwert" title="Zeitmittelwert">zeitlichen</a> <a href="Arithmetischer_Mittelwert" class="mw-redirect" title="Arithmetischer Mittelwert">arithmetischen Mittelwerten</a> der <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetischen Energie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {T}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd97dce2253b73a45cf6b8dcd84546e3f033aa20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.932ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}}" loading="lazy"> und der <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentiellen Energie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {U}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19c0e1c90cfd1f74816d2ac331fe88656cfe260d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}}" loading="lazy"> eines <a href="Abgeschlossenes_System" title="Abgeschlossenes System">abgeschlossenen physikalischen Systems</a>. Der Virialsatz wurde 1870 von <a href="Rudolf_Clausius" title="Rudolf Clausius">Rudolf Clausius</a> aufgestellt in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.

Das Virial ist dabei nach Clausius der Ausdruck<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-Goldstein-2">[2]</a><a href="#cite_note-3">[3]</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mover>

<mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33187c076e6cc7a56366c96749d15b5368b76b5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.024ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Hierbei bezeichnet

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea577fb6893bf693c2c5407def00d9e474362fc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.324ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F_{i}}}}" loading="lazy"> die auf das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-te Teilchen wirkende <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a></li>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"> den <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektor</a> des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-ten Teilchens</li>

<li>der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z. B. ein Zeit- oder <a href="Ensemblemittelwert" title="Ensemblemittelwert">Scharmittel</a>.</li></ul>

Der Virialsatz wurde von Clausius ursprünglich als Satz der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie). Er ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, z. B. in <a href="Mehrk%C3%B6rperproblem" class="mw-redirect" title="Mehrkörperproblem">Mehrkörperproblemen</a> der <a href="Astrophysik" title="Astrophysik">Astrophysik</a>. Es gibt auch einen <a href="Quantenmechanisch" class="mw-redirect" title="Quantenmechanisch">quantenmechanischen</a> Virialsatz, einen Virialsatz der <a href="Statistische_Mechanik" title="Statistische Mechanik">statistischen Mechanik</a>, aus dem u. a. das <a href="Gasgesetz" class="mw-redirect" title="Gasgesetz">ideale Gasgesetz</a> und Korrekturen für <a href="Reales_Gas" title="Reales Gas">reale Gase</a> abgeleitet wurden, sowie einen <a href="Relativistisch" class="mw-redirect" title="Relativistisch">relativistischen</a> Virialsatz.

Der Virialsatz gilt nur unter gewissen Voraussetzungen, etwa im Fall des Virialsatzes der Mechanik, dass mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein <a href="Thermisches_Gleichgewicht" class="mw-redirect" title="Thermisches Gleichgewicht">thermisches Gleichgewicht</a> herrscht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Virialsatz_der_Mechanik">Virialsatz der Mechanik</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teilchen_in_einem_konservativen_Kraftfeld">Teilchen in einem konservativen Kraftfeld</h3></div>

Einen einfachen Fall stellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren <a href="Kraftfeld" title="Kraftfeld">Kraftfeld</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F_{E}}}}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F_{E}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5536cb7a3088abc293fda07b703240b8aeb1b9fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.982ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F_{E}}}}" loading="lazy"> dar, das <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservativ</a>, also von einem <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> abgeleitet, ist (die dazugehörende <a href="Ladung_(Physik)" title="Ladung (Physik)">Ladung</a> sei mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> bezeichnet, sie ist für den Fall der <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitation</a> gerade die Masse):

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\vec {F_{E}}}({\vec {r}})=q\,\nabla \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a22b4f6c527c3c8847d702b3fa69edc18802d0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.024ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle -{\vec {F_{E}}}({\vec {r}})=q\,\nabla \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f16f3dda7ef692263c09ac6a59ec21fd72c4c198.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \nabla \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> der <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> des Feldes bzw. des Potentials.

Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a> für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mover>

<mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mover>

<mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\overline {T}}&=-&&{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}\\&=&&{\frac {q}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {\nabla \Phi ({\vec {r_{i}}})\cdot {\vec {r_{i}}}}},\end{alignedat}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a42d80e098a888c8fcc7f3c1b7387882998b506.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.838ex; width:26.23ex; height:14.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\overline {T}}&=-&&{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}\\&=&&{\frac {q}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {\nabla \Phi ({\vec {r_{i}}})\cdot {\vec {r_{i}}}}},\end{alignedat}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> die kinetische Energie des Teilchens ist</li>

<li>der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau \to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau \to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9d637e88503e9b1f8f1029cdd2f6b748f0318f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.14ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \tau \to \infty }" loading="lazy"> bezeichnet.</li></ul>

Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen <a href="Homogene_Funktion" title="Homogene Funktion">homogenes</a> Potential vom <a href="Grad_(Polynom)" title="Grad (Polynom)">Grad</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> an, d. h. es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi (\alpha \,{\vec {r}})=\alpha ^{k}\cdot \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (\alpha \,{\vec {r}})=\alpha ^{k}\cdot \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc3eabad1230444d6a3c381674fc52bed9b918e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.65ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi (\alpha \,{\vec {r}})=\alpha ^{k}\cdot \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha >0}" loading="lazy"> (Werte für k finden sich weiter unten in Folgerungen und Beispiele), dann vereinfacht sich obige Gleichung mit der <a href="Homogene_Funktion#Positive_Homogenität" title="Homogene Funktion">Eulerschen Gleichung für homogene Funktionen</a>:<a href="#cite_note-Honerkamp-4">[4]</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \Phi ({\vec {r}})\cdot {\vec {r}}=k\,\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b597111256f1e6cd012f9d54c058f6f21cf3221.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.956ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \nabla \Phi ({\vec {r}})\cdot {\vec {r}}=k\,\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

zu

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5d4363417643e525582f4405782d0512d55331c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.137ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}},}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle U=\sum q_{i}\Phi ({\vec {r_{i}}})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle U=\sum q_{i}\Phi ({\vec {r_{i}}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7b44ce234435e7d1068a7e10d5f573a851552a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.37ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle U=\sum q_{i}\Phi ({\vec {r_{i}}})}" loading="lazy"> die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Untereinander_wechselwirkende_Teilchen">Untereinander wechselwirkende Teilchen</h3></div>

Für die Ableitung der <a href="Gasgesetze" title="Gasgesetze">Gasgesetze</a> und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mover>

<mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/855f6c6bb1ebe6b365af9f2ded12f27941818a3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.408ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F_{i}}}}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea577fb6893bf693c2c5407def00d9e474362fc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.324ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F_{i}}}}" loading="lazy"> die <a href="Resultierende" class="mw-redirect" title="Resultierende">Resultierende</a> der auf das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{i}{\vec {F_{i}}}=0}">

</mrow>

</munder>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{i}{\vec {F_{i}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a6a4cf2ffb076ee742aa57a5b2311843466f243.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.225ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{i}{\vec {F_{i}}}=0}" loading="lazy"> gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"> im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> abgeleitet werden können, wie oben auf die Form

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4087c1089324509e9ec41c1ab9c0c15cee4c7546.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.49ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bringen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Folgerungen_und_Beispiele">Folgerungen und Beispiele</h3></div>

Mit der Gesamtenergie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {E}}={\overline {T}}+{\overline {U}}=E}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {E}}={\overline {T}}+{\overline {U}}=E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77d38e18e23314f98115643bc07977ca4dbfdfce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.7ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {E}}={\overline {T}}+{\overline {U}}=E}" loading="lazy"> folgt aus dem Virialsatz:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}}={\frac {k}{k+2}}\,E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7ebf7be5ac23ad7e0fac59a850feace2f6ed9f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.801ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}}={\frac {k}{k+2}}\,E}" loading="lazy"></dd></dl>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {U}}={\frac {2}{k+2}}\,E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73632ccc083dbf6f5592578a024bea1bcd171cf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.336ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {U}}={\frac {2}{k+2}}\,E}" loading="lazy"></dd></dl>

Für den bekannten Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/654e2ed2859d2ddf7f69949359f20f28977f829d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.28ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k=-1}" loading="lazy"> (<a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitation</a>, <a href="Coulombsche_Kraft" class="mw-redirect" title="Coulombsche Kraft">Coulombsche Kraft</a>) ergibt sich z. B.:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\,{\overline {U}}=-E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a70ef1c16e73826f7a57992fe1c460f5c49d5514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.931ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\,{\overline {U}}=-E}" loading="lazy"></dd></dl>

Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/654e2ed2859d2ddf7f69949359f20f28977f829d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.28ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k=-1}" loading="lazy"> negativ sein muss (da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {T}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd97dce2253b73a45cf6b8dcd84546e3f033aa20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.932ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}}" loading="lazy"> positiv ist).

Für <a href="Harmonische_Schwingung" class="mw-redirect" title="Harmonische Schwingung">harmonische Schwingungen</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bd301789e1f25a3da4be297ff637754ebee5f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=2}" loading="lazy">) gilt:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T}}={\overline {U}}={\frac {1}{2}}\,E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fe5a7203ca55dde65d7c38f2241eb7f94faac0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.315ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T}}={\overline {U}}={\frac {1}{2}}\,E}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ableitung">Ableitung</h3></div>

Hier wird der Darstellung im Lehrbuch von <a href="Lew_Dawidowitsch_Landau" title="Lew Dawidowitsch Landau">Landau</a> und <a href="Jewgeni_Michailowitsch_Lifschiz" title="Jewgeni Michailowitsch Lifschiz">Lifschiz</a> gefolgt, wo der Virialsatz in Zusammenhang mit dem Skalierungsverhalten mechanischer Größen (<a href="Mechanische_%C3%84hnlichkeit" title="Mechanische Ähnlichkeit">mechanische Ähnlichkeit</a>) diskutiert wird. Dabei wird nur ausgenutzt, dass die kinetische Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> quadratisch in den Geschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c1e99e843fffeae2c302f24e96edb76b2cbf915.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.975ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}" loading="lazy"> ist, und die Impulse werden formal über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}={\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}_{i}}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}={\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fe0c8ace579086b8e57cbdaae00948fb5340f1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:9.442ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}={\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}_{i}}}}" loading="lazy"> eingeführt. Dann gilt nach dem <a href="Satz_von_Euler_%C3%BCber_homogene_Funktionen" class="mw-redirect" title="Satz von Euler über homogene Funktionen">Satz von Euler über homogene Funktionen</a>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}_{i}}}\cdot {\vec {v}}_{i}=2T,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68980aa30c342c7608bcbc384e0168826dcb7d52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.069ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}_{i}}}\cdot {\vec {v}}_{i}=2T,}" loading="lazy"></dd></dl>

woraus

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2T=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{i}={\frac {d}{dt}}(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})-\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}{\vec {p}}_{i}={\frac {dG}{dt}}-\sum _{i}{\vec {r}}_{i}{\vec {F}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce4fb981b47880ffb04e713bd3df655b1d502547.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:66.24ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle 2T=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{i}={\frac {d}{dt}}(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})-\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}{\vec {p}}_{i}={\frac {dG}{dt}}-\sum _{i}{\vec {r}}_{i}{\vec {F}}_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

folgt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> die Summe der <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukte</a> aus den <a href="Impuls_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Impuls (Mechanik)">Impulsen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0f7ed082c99f239319703553a9784a0d8809768.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:2.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}" loading="lazy"> und den Orten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"> aller Teilchen ist:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\sum _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/217537c630f36f86c85c27a5bbdca0aebbb1d649.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.494ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle G=\sum _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Nun bildet man den asymptotischen Grenzwert des zeitlichen Mittelwerts:

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {f}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }f(t)dt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6977ccba0908f84881992682f40ef7d2698669e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.447ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {f}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }f(t)dt}" loading="lazy"></dd></dl>

Insbesondere gilt für den zeitlichen Mittelwert der Zeitableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">:

<mover>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {{\frac {d}{dt}}(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})}}={\overline {\left({\frac {dG}{dt}}\right)}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e6f6f5299e2c17857b391fe1b76602141a995a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:45.833ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {{\frac {d}{dt}}(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})}}={\overline {\left({\frac {dG}{dt}}\right)}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hat man es mit einem System zu tun, in dem die Geschwindigkeiten und Orte der Teilchen beschränkt sind (z. B. bei periodischen Bahnen),<a href="#cite_note-Honerkamp-4">[4]</a> so folgt

<mover>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\left({\frac {dG}{dt}}\right)}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51bcf7b580306a4ddff9b797ebee8409d82e089a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.676ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\left({\frac {dG}{dt}}\right)}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

und mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}={\frac {d}{dt}}{\vec {p}}_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {\vec {r}}_{i}}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{i}={\frac {d}{dt}}{\vec {p}}_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {\vec {r}}_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/148ef4a6e519bbec07de6ff4f28a76677f1833cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.769ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}={\frac {d}{dt}}{\vec {p}}_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {\vec {r}}_{i}}}}" loading="lazy"> weiter der Virialsatz

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2{\overline {T}}={\overline {\left(\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\cdot {\frac {\partial U}{\partial {\vec {r}}_{i}}}\right)}}=k{\overline {U}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd42764cd35e0db37d5e2d0667013824b560dff0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.591ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle 2{\overline {T}}={\overline {\left(\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\cdot {\frac {\partial U}{\partial {\vec {r}}_{i}}}\right)}}=k{\overline {U}},}" loading="lazy"></dd></dl>

wenn man annimmt, dass das Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> eine homogene Funktion der Ortskoordinaten vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> ist. In dieser Sicht drückt der Satz eine Gleichheit von Mittelwerten von kinetischer und potentieller Energie aus mit Vorfaktoren, die sich aus dem Skalierungsverhalten ergeben: 2 bei der kinetischen Energie, da die Geschwindigkeiten oder Impulse quadratisch eingehen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> beim Potential, da die Ortsvariablen mit Potenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> eingehen.

Eine ähnliche Ableitung findet sich schon bei Clausius und in dem Lehrbuch der klassischen Mechanik von <a href="Herbert_Goldstein" title="Herbert Goldstein">Herbert Goldstein</a>.<a href="#cite_note-Goldstein-2">[2]</a> Goldstein weist auch darauf hin, dass der Virialsatz mit Potentialterm auch dann gilt, wenn zusätzlich zu den Potentialkräften Reibungskräfte vorhanden sind, die proportional zur Geschwindigkeit sind, da diese keinen Beitrag zum Virialsatz liefern. Das gilt aber nur, falls sich ein <a href="Flie%C3%9Fgleichgewicht" title="Fließgleichgewicht">Fließgleichgewicht</a> einstellt, also Energie zugeführt wird, sodass die Bewegung nicht vollständig zum Erliegen kommt, denn dann würden alle Zeitmittelwerte verschwinden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sonderfälle_der_Mittelwertbildung">Sonderfälle der Mittelwertbildung</h2></div>

Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau \to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau \to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9d637e88503e9b1f8f1029cdd2f6b748f0318f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.14ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \tau \to \infty }" loading="lazy">. In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschlossene_Bahnen">Geschlossene Bahnen</h3></div>

Liegen <a href="Geschlossene_Bahn" class="mw-redirect" title="Geschlossene Bahn">geschlossene Bahnen</a> vor, so kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine <a href="Periode_(Physik)" title="Periode (Physik)">Periode</a> ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung.

In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des <a href="Harmonischer_Oszillator" title="Harmonischer Oszillator">harmonischen Oszillators</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bd301789e1f25a3da4be297ff637754ebee5f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=2}" loading="lazy">) und für das <a href="Coulombpotential" class="mw-redirect" title="Coulombpotential">Coulombpotential</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/654e2ed2859d2ddf7f69949359f20f28977f829d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.28ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k=-1}" loading="lazy">), erhält man für finite (d. h. nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vielteilchensystem">Vielteilchensystem</h3></div>

Befindet sich ein <a href="Vielteilchensystem" class="mw-redirect" title="Vielteilchensystem">Vielteilchensystem</a> im <a href="Thermisches_Gleichgewicht" class="mw-redirect" title="Thermisches Gleichgewicht">thermischen Gleichgewicht</a>, so kann das System als <a href="Ergodenhypothese" title="Ergodenhypothese">ergodisch</a> betrachtet werden, d. h., das <a href="Zeitmittel" class="mw-redirect" title="Zeitmittel">Zeitmittel</a> ist gleich dem <a href="Ensemblemittelwert" title="Ensemblemittelwert">Scharmittel</a> für alle <a href="Observable" title="Observable">Beobachtungsgrößen</a>. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien gebildet wird aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> der Objekte, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für <a href="Gleichgewichtssystem" class="mw-redirect" title="Gleichgewichtssystem">Gleichgewichtssysteme</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {k}{2}}\,U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ca92aa33ac857bf10fd0d357e58ac7c3b59160.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.952ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {k}{2}}\,U}" loading="lazy"></dd></dl>

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Astrophysik">Astrophysik</h4></div>

Für das gravitative <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">-Teilchensystem in der Astrophysik (z. B. als Modell von <a href="Galaxienhaufen" title="Galaxienhaufen">Galaxien-</a> und <a href="Sternhaufen" title="Sternhaufen">Sternhaufen</a>) ist die o. g. Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, nämlich dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen.

Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang: In der Astrophysik definiert die <a href="Relaxation_(Naturwissenschaft)" title="Relaxation (Naturwissenschaft)">Relaxationszeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\text{relax}}}">

<msub>

<mtext>relax</mtext>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\text{relax}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a30dc191480df6fc748d5b242e036cf604bdc4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.112ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{\text{relax}}}" loading="lazy"> eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.<a href="#cite_note-Voigt-6">[6]</a> Sie beträgt bei der Milchstraße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\text{relax}}\approx 7\cdot 10^{13}}">

<msub>

<mtext>relax</mtext>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\text{relax}}\approx 7\cdot 10^{13}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a062e179c5ac7b9d76d8a89a5cec16f2015b24d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.253ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{\text{relax}}\approx 7\cdot 10^{13}}" loading="lazy"> Jahre (bei einem Alter von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 13{,}6\cdot 10^{9}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 13{,}6\cdot 10^{9}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f827fc425d990b9c452707ce2d027cf313da5a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.192ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 13{,}6\cdot 10^{9}}" loading="lazy"> Jahren) und für typische <a href="Kugelsternhaufen" title="Kugelsternhaufen">Kugelsternhaufen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{10}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{10}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b086010e3cc3b0a4e22c858243d32ec1cc648e6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.201ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 10^{10}}" loading="lazy"> Jahre. Innerhalb des Zeitraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\text{relax}}}">

<msub>

<mtext>relax</mtext>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\text{relax}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a30dc191480df6fc748d5b242e036cf604bdc4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.112ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{\text{relax}}}" loading="lazy"> erreichen 0,74 Prozent der Sterne nach der <a href="Maxwellsche_Geschwindigkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung">Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung</a> die <a href="Fluchtgeschwindigkeit" class="mw-disambig" title="Fluchtgeschwindigkeit">Fluchtgeschwindigkeit</a> und entweichen.

Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt,<a href="#cite_note-7">[7]</a> und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 42\cdot T_{\text{relax}}}">

<msub>

<mtext>relax</mtext>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 42\cdot T_{\text{relax}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad690b6c8268d0603c32deb2798fb1cff2a1e27a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.116ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 42\cdot T_{\text{relax}}}" loading="lazy"> sind 90 Prozent der Sterne abgewandert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbeispiel:_Massenbestimmung_astronomischer_Haufen">Anwendungsbeispiel: Massenbestimmung astronomischer Haufen</h2></div>

Anwendung findet der Virialsatz beispielsweise in der <a href="Astrophysik" title="Astrophysik">Astrophysik</a> und der <a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">Himmelsmechanik</a>. Dort benutzt man das Newton’sche <a href="Gravitationspotential" class="mw-redirect" title="Gravitationspotential">Gravitationspotential</a>, das homogen vom Grad −1 ist. Dann gilt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2T=-U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99e5ce6916ebf3bc2bb9110656decd7df0782f8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.488ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2T=-U}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Virialsatz erlaubt es, recht gute Ab<a href="Sch%C3%A4tzung" title="Schätzung">schätzungen</a> für die Gesamtmassen dynamisch gebundener Systeme wie <a href="Sternhaufen" title="Sternhaufen">Sternhaufen</a>, <a href="Galaxie" title="Galaxie">Galaxien</a> oder <a href="Galaxienhaufen" title="Galaxienhaufen">Galaxienhaufen</a> zu finden. Die Gesamtmasse eines solchen Haufens kann dann vollständig durch Beobachtungsgrößen wie <a href="Radialgeschwindigkeit" title="Radialgeschwindigkeit">Radialgeschwindigkeiten</a>, <a href="Winkelabstand" class="mw-redirect" title="Winkelabstand">Winkelabstände</a> und <a href="Scheinbare_Helligkeit" title="Scheinbare Helligkeit">scheinbare Helligkeiten</a> der Einzelobjekte ausgedrückt werden. Die einzige Voraussetzung für die Anwendung des Virialsatzes ist die Kenntnis des Abstandes des Haufens. Wir wollen das Vorgehen anhand der Massenbestimmung eines solchen Haufens hier skizzieren:

Die kinetische Gesamtenergie eines Stern- oder Galaxienhaufens ist durch

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e4fdd4fbf45c010c88274a2b22479f2fb04ed31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.884ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben. Aber weder die Einzelmassen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95ec8e804f69706d3f5ad235f4f983220c8df7c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}}" loading="lazy"> noch die Geschwindigkeitsbeträge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dffe5726650f6daac54829972a94f38eb8ec127.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.927ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{i}}" loading="lazy"> sind Beobachtungsgrößen. Um diese einzuführen, müssen die Beiträge der einzelnen Objekte durch die Gesamtmasse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle M=\sum m_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle M=\sum m_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/456190647195204ca12e9e61481acb48be995c8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle M=\sum m_{i}}" loading="lazy"> und geeignete Mittelwerte ausgedrückt werden. Zum Beispiel kann man annehmen, dass die Einzelmassen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95ec8e804f69706d3f5ad235f4f983220c8df7c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}}" loading="lazy"> proportional zu den <a href="Leuchtkraft" title="Leuchtkraft">Einzelleuchtkräften</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48ba35055d00bcaa522bca9247c8857730998759.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.493ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{i}}" loading="lazy"> sind und ein leuchtkraftgewichtetes Mittel bilden (durch den Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> angedeutet):

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {M}{2}}\sum _{i}\left({\frac {m_{i}}{M}}\cdot v_{i}^{2}\right)={\frac {M}{2}}\sum _{i}\left({\frac {l_{i}}{L}}\cdot v_{i}^{2}\right)={\frac {M}{2}}\langle v^{2}\rangle _{L}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/150c76e38f07e62a50dd917d6465884f34a4fc83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:54.381ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {M}{2}}\sum _{i}\left({\frac {m_{i}}{M}}\cdot v_{i}^{2}\right)={\frac {M}{2}}\sum _{i}\left({\frac {l_{i}}{L}}\cdot v_{i}^{2}\right)={\frac {M}{2}}\langle v^{2}\rangle _{L}}" loading="lazy"></dd></dl>

Nimmt man an, dass das System <a href="Kugelsymmetrie" class="mw-redirect" title="Kugelsymmetrie">sphärisch symmetrisch</a> ist und sich im Gleichgewicht befindet (man sagt dann auch, es ist virialisiert), dann sind die Geschwindigkeiten über die Raumrichtungen gleichverteilt und es gilt

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{R}^{2}\rangle ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbac9a2b0931749be86b92cdea5cb48837c9af7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.315ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{R}^{2}\rangle ,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c2176705c26d9578cdcd6ab896abbb27eb8657.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.315ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v_{R}^{2}\rangle }}}">

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v_{R}^{2}\rangle }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a73428afcb004bdd5966663996cdd160e2637c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.74ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v_{R}^{2}\rangle }}}" loading="lazy"> die Streuungen (Abweichungen vom Mittelwert) der Geschwindigkeiten sind, das heißt die räumlichen bzw. Radialgeschwindigkeiten relativ zum Schwerpunkt des Haufens.<a href="#cite_note-Voigt-6">[6]</a> Beispielsweise haben die Galaxien des <a href="Coma-Haufen" class="mw-redirect" title="Coma-Haufen">Coma-Haufens</a> eine Gaußverteilung der Geschwindigkeiten mit einer Streuung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> von 1000 km/s. Damit erhält man:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {3M}{2}}\langle v_{R}^{2}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3c70a7a4059fb823811b318b87b5f8ff60ce2fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.592ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {3M}{2}}\langle v_{R}^{2}\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

Andererseits gilt für die potentielle Gesamtenergie unter der Bedingung sphärischer Symmetrie

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=-{\frac {\alpha GM^{2}}{R}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a978da9b85e791a296f97731920b4d793839f62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.393ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle U=-{\frac {\alpha GM^{2}}{R}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<ul><li>der <a href="Gravitationskonstante" title="Gravitationskonstante">Gravitationskonstanten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">,</li>

<li>dem Gesamtradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> des Systems und</li>

<li>einem Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">, der von der Größenordnung 1 ist und von der radialen <a href="Verteilungsfunktion" title="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktion</a>, also der Geometrie des Haufens, abhängt. Für eine (allerdings unrealistische) <a href="Gleichverteilung" title="Gleichverteilung">Gleichverteilung</a> innerhalb des Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> ist beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =3/5}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =3/5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ece2e4a08c9c30c6813dc016f5992bf67eb4ccb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.073ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha =3/5}" loading="lazy">. Im Allgemeinen ist der Faktor aus den beobachteten Winkelabständen der Einzelsysteme zum Haufenzentrum zu bestimmen.</li></ul>

Durch Anwendung des Virialsatzes für die Gravitation erhalten wir die Gesamtmasse des Haufens zu:<a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-Voigt-6">[6]</a>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\frac {3R}{\alpha G}}\langle v_{R}^{2}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a854e4da4829633fd42e51dc07a1a6de55ceb81a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.108ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M={\frac {3R}{\alpha G}}\langle v_{R}^{2}\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

Die sich aus der Beobachtung ergebende Masse heißt Virialmasse. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> von der Größenordnung 1 ist, sieht man außerdem, dass die mittlere Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle v\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle v\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61604fdde22cb90ecdbdd2813be95b938722f54c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle v\rangle }" loading="lazy"> etwa der Fluchtgeschwindigkeit entspricht (mit genauer Übereinstimmung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/938489e6428bb7959330df8c06c79a994811c4a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =2}" loading="lazy">).

Obwohl diese Methode der Massenbestimmung mit Unsicherheiten behaftet ist, merkte mit ihr bei der Messung von stark abweichenden Fluchtgeschwindigkeiten von Galaxienhaufen und der Deutung der Rotverschiebung <a href="Fritz_Zwicky" title="Fritz Zwicky">Fritz Zwicky</a> schon 1933 an, dass ein Großteil der Masse sehr dicht in Form <a href="Dunkle_Materie" title="Dunkle Materie">Dunkler Materie</a> vorliegen könne: Die Summe der Massen der sichtbaren Galaxien des Haufens lag eine Größenordnung niedriger.<a href="#cite_note-9">[9]</a> Denn zur Erklärung der <a href="Rotverschiebung" title="Rotverschiebung">Rotverschiebung</a> sei eine 400-mal größere Massendichte erforderlich, als die aus den Massen der leuchtenden Materie abgeleitete Dichte. „Falls sich dies bewahrheiten sollte, würde sich also das überraschende Resultat ergeben, dass dunkle Materie in sehr viel größerer Dichte vorhanden ist als leuchtende Materie.“<a href="#cite_note-10">[10]</a> Auch bei elliptischen Galaxien ergab sich, dass die Virialmasse um Faktoren 10 bis 100 größer als die leuchtende Masse ist. Im Gegensatz zu Spiralgalaxien, wo man die Masse aus der Rotationskurve bestimmen kann, ist die Virialmethode bei elliptischen Galaxien häufig die einzige Methode der Massenbestimmung.

Eine weitere astrophysikalische Anwendung ist die Abschätzung der <a href="Jeans-Masse" class="mw-redirect" title="Jeans-Masse">Jeans-Masse</a> und der Satz findet auch Anwendung in Untersuchungen zur Stabilität von Gaskugelmodellen für Sterne.<a href="#cite_note-Chandrasekhar-11">[11]</a> Für ein durch Gravitation zusammengehaltenes <a href="Ideales_Gas" title="Ideales Gas">ideales Gas</a> als Sternmodell lässt sich mit dem Virialsatz zeigen, dass der Stern in der Endphase (wenn alle Fusionsprozesse zum Erliegen gekommen sind) nicht abkühlen kann. Erhöht sich der Betrag der gravitativen Bindungsenergie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> durch die Kontraktion des Sterns, geht die Hälfte des Zuwachses in die kinetische Energie der als ideales Gas aufgefassten Sternmaterie und erhöht somit die Temperatur, der Rest wird abgestrahlt.<a href="#cite_note-12">[12]</a> Wird der Druck im Innern zu hoch, bricht die Beschreibung als klassisches ideales Gas allerdings zusammen, da sich ein entartetes Fermigas bildet (Weißer Zwerg).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tensor-Form">Tensor-Form</h2></div>

Im Rahmen der <a href="Kontinuumsmechanik" title="Kontinuumsmechanik">Kontinuumsmechanik</a> wird der <a href="Tensor" title="Tensor">tensorielle</a> Virialsatz aus der <a href="Sto%C3%9F_(Physik)" title="Stoß (Physik)">stoß</a>freien <a href="Boltzmann-Gleichung" title="Boltzmann-Gleichung">Boltzmann-Gleichung</a> bewiesen und in der Astrophysik verwendet.

Wenn als <a href="Grundkr%C3%A4fte_der_Physik" class="mw-redirect" title="Grundkräfte der Physik">Wechselwirkung</a> wiederum die Gravitation angenommen wird, hat der Satz die Form

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I_{ij}=2T_{ij}+\Pi _{ij}+U_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f14dac700f6b2d567cf4caa1e6256d8e69aa7b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.506ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I_{ij}=2T_{ij}+\Pi _{ij}+U_{ij}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<ul><li>dem <a href="Tr%C3%A4gheitstensor" title="Trägheitstensor">Trägheitstensor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{ij},}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{ij},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/485daecba2ed583a35a6dd000b6088b2e72a909d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I_{ij},}" loading="lazy"></li>

<li>dem Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9de5760ded748359e36c7fb067c45f5e9642e890.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.835ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{ij}}" loading="lazy"> der kinetischen Energie,</li>

<li>dem <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi _{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42ce380a9392d00518b08beba62abe56a194bf98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.22ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi _{ij}}" loading="lazy"> und</li>

<li>dem Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/931565effc1d5501c5d465202b13b0c0cf07fd10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U_{ij}}" loading="lazy"> der potentiellen Energie.</li></ul>

Im statischen Fall fällt die Zeitableitung auf der linken Seite der Gleichung weg, und da der Spannungstensor spurfrei ist, ergibt die <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a> der Gleichung wieder den <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalaren</a> Virialsatz.

Das Auftreten der zweiten Zeitableitung des Trägheitstensors kann aus folgender Umformulierung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> im skalaren Fall motiviert werden:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}{\vec {p}}_{k}\cdot {\vec {x}}_{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d{\vec {x}}_{k}}{dt}}\cdot {\vec {x}}_{k}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\vec {x}}_{k}\cdot {\vec {x}}_{k}={\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5461bebdc0eb9fcf8bfd1c2ef549d5ae72952425.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:64.574ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}{\vec {p}}_{k}\cdot {\vec {x}}_{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d{\vec {x}}_{k}}{dt}}\cdot {\vec {x}}_{k}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\vec {x}}_{k}\cdot {\vec {x}}_{k}={\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit dem skalaren <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{{\vec {x}}_{k}}^{2}.}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{{\vec {x}}_{k}}^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc8bb8a14a9d103cc8991103b29608b1d1f4234b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.261ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{{\vec {x}}_{k}}^{2}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Varianten_in_der_Astrophysik">Varianten in der Astrophysik</h3></div>

Für Anwendungen in der Astrophysik wurde folgende Form des Virialsatzes

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+\Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51effd1c4aa221ceae5f15c2973187dbedfb433a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.694ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+\Omega }" loading="lazy"></dd></dl>

zuerst von <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a><a href="#cite_note-13">[13]</a> und <a href="Arthur_Eddington" class="mw-redirect" title="Arthur Eddington">Arthur Eddington</a><a href="#cite_note-14">[14]</a> abgeleitet.<a href="#cite_note-Chandrasekhar-11">[11]</a>

Für stationäre Systeme verschwindet die linke Seite, und in der betrachteten Anwendung war <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> die potentielle gravitative Energie der Teilchen einer <a href="Gaswolke" title="Gaswolke">Gaswolke</a> oder der Sterne in Galaxien:

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =-\sum _{i\neq j}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3947510fec3c527c3e3901a8b0f275c5b81bf1db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:19.167ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \Omega =-\sum _{i\neq j}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

In der <a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">Himmelsmechanik</a> war diese Form des Virialsatzes schon <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> bekannt (1772, in einer Abhandlung zum <a href="Dreik%C3%B6rperproblem" title="Dreikörperproblem">Dreikörperproblem</a>) und von <a href="Carl_Gustav_Jacobi" class="mw-redirect" title="Carl Gustav Jacobi">Carl Gustav Jacobi</a> verallgemeinert worden (Vorlesungen über Dynamik).<a href="#cite_note-15">[15]</a>

Eine Aufteilung der kinetischen Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> in

<ul><li>einen Anteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\mathrm {kin} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {kin} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93d27518b579169b89542ab23824b416d83789ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.187ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {kin} }}" loading="lazy"> der <a href="Hydrodynamik" class="mw-redirect" title="Hydrodynamik">hydrodynamischen</a> Flüsse und</li>

<li>einen Anteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{W}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{W}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dfd7463e1a39405a8f20cb7248dc4e48ff7552b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.669ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{W}}" loading="lazy"> der zufälligen Wärmebewegung</li></ul>

sowie bei der potentiellen Energie eine zusätzliche Betrachtung

<ul><li>eines Anteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f1b716a2b6bf8ba1ef2fde12b130c935880833e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.674ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{M}}" loading="lazy"> von <a href="Magnetfeld" class="mw-redirect" title="Magnetfeld">Magnetfeldern</a></li></ul>

liefert den Virialsatz in folgender skalarer Form:<a href="#cite_note-16">[16]</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2E_{\mathrm {kin} }+2E_{W}+\Omega +E_{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1867eb4d021245f0ade0403782cdebcd35040b29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:33.432ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2E_{\mathrm {kin} }+2E_{W}+\Omega +E_{M}}" loading="lazy"></dd></dl>

Eine Tensorform dieses Virialsatzes für astrophysikalische Anwendungen in Anwesenheit magnetischer Felder wurde 1954 von <a href="Eugene_N._Parker" title="Eugene N. Parker">Eugene N. Parker</a> gegeben<a href="#cite_note-17">[17]</a> sowie 1953 von <a href="Subramanyan_Chandrasekhar" class="mw-redirect" title="Subramanyan Chandrasekhar">Subramanyan Chandrasekhar</a> und <a href="Enrico_Fermi" title="Enrico Fermi">Enrico Fermi</a>.<a href="#cite_note-18">[18]</a> Chandrasekhar entwickelte auch spezialisierte Virialsätze für seine Diskussion der <a href="Gleichgewichtsfigur" title="Gleichgewichtsfigur">Gleichgewichtsfiguren</a> rotierender Flüssigkeiten.<a href="#cite_note-19">[19]</a>

In der <a href="Plasmaphysik" class="mw-redirect" title="Plasmaphysik">Plasmaphysik</a> lässt sich als Anwendung des Virialsatzes zeigen, dass es keine stationären endlichen, durch die eigenen Magnetfelder eingeschlossenen Plasmakonfigurationen (Plasmoide) gibt.<a href="#cite_note-20">[20]</a> Stattdessen sind für den Einschluss des Plasmas z. B. äußere Wände oder äußere Magnetfelder erforderlich.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Virialsatz_der_Quantenmechanik">Der Virialsatz der Quantenmechanik</h2></div>

Für die <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> behält der Virialsatz seine Gültigkeit, wie von <a href="Wladimir_Alexandrowitsch_Fock" title="Wladimir Alexandrowitsch Fock">Fock</a> gezeigt wurde.<a href="#cite_note-21">[21]</a>

Der <a href="Hamiltonoperator" title="Hamiltonoperator">Hamiltonoperator</a> des Systems aus <a href="Punktteilchen" class="mw-redirect" title="Punktteilchen">Punktteilchen</a> sei

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=V(\{X_{i}\})+\sum _{n}P_{n}^{2}/2m.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef9797f8b49b6b6f069be3fb9769c03e2ea5f490.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.278ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle H=V(\{X_{i}\})+\sum _{n}P_{n}^{2}/2m.}" loading="lazy"></dd></dl>

Man bilde den <a href="Kommutator" class="mw-disambig" title="Kommutator">Kommutator</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{n}P_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{n}P_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/600ef89263e7e3e4386308ef35b7199492f83ec0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.853ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{n}P_{n}}" loading="lazy">, gebildet aus dem <a href="Ortsoperator" title="Ortsoperator">Ortsoperator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72a8564cedc659cf2f95ae68bc5de2f5207a3285.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.143ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{n}}" loading="lazy"> und dem <a href="Impulsoperator" title="Impulsoperator">Impulsoperator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{n}=-i\hbar d/dX_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{n}=-i\hbar d/dX_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e069beef31d32c00434c7a4a7bfa61583f58512.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.463ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{n}=-i\hbar d/dX_{n}}" loading="lazy"> des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Teilchens:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ae32ed9aa70b0ad860f9f9e2925d95af3716e60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:58.879ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bildet man durch Summierung über die Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e47e223e6bd7a0e71fc6f891d2c8ce423023049.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.85ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}" loading="lazy">, so folgt

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f98197148aeb6ef8e4b525040e8fae8493d9631.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:29.189ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der kinetischen Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m}">

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4893b301dc61301e7bf866fc39b1393325817ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.035ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m}" loading="lazy">.

Nach den <a href="Heisenbergsche_Bewegungsgleichung" class="mw-redirect" title="Heisenbergsche Bewegungsgleichung">Heisenbergschen Bewegungsgleichungen</a> ist die linke Seite gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -dQ/dt}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -dQ/dt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10b1c9bcf02080ddc007ef50b5a62e0929c81e92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.08ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -dQ/dt}" loading="lazy">. Der <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle dQ/dt\rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle dQ/dt\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c128b956ea48073604e0466f0877be0dc6125a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle dQ/dt\rangle }" loading="lazy"> verschwindet in einem <a href="Gleichgewicht_(Systemtheorie)#Stationärer_Zustand" title="Gleichgewicht (Systemtheorie)">stationären Zustand</a>, sodass mit

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\langle X_{n}dV/dX_{n}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc73e610dcbf3b1fcd3e83e889bd5683ed1f3ad9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.538ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\langle X_{n}dV/dX_{n}\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

die Quantenversion des Virialsatzes folgt, wobei die spitzen Klammern für quantenmechanische Erwartungswerte der jeweiligen Operatoren für einen stationären Zustand stehen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Virialsatz_der_statistischen_Mechanik">Der Virialsatz der statistischen Mechanik</h2></div>

Wie der <a href="Gleichverteilungssatz" title="Gleichverteilungssatz">Gleichverteilungssatz</a> gehört auch eine Version des Virialsatzes zu den allgemeinen Aussagen der klassischen statistischen Mechanik.

Als Mittelbildung mit Hilfe des <a href="Kanonisches_Ensemble" title="Kanonisches Ensemble">kanonischen Ensembles</a> erhält man (vgl. den Gleichverteilungssatz):

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle x_{i}{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}\right\rangle =k_{\mathrm {B} }T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55fe7d0ff1ee4f1788d93c3db5c76e91e7399545.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.241ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\langle x_{i}{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}\right\rangle =k_{\mathrm {B} }T}" loading="lazy"></dd></dl>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle =k_{\mathrm {B} }T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/726af772946eb197283a5b8c1507ea86a0fee340.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.015ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle =k_{\mathrm {B} }T}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=H_{\mathrm {kin} }+U(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=H_{\mathrm {kin} }+U(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85ccdf45b6e63d7608fd35edbb29e97ad6b5031c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H=H_{\mathrm {kin} }+U(x)}" loading="lazy">.

Die untere Gleichung liefert:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f75dfa1bb867f8b5511c92ce8c198e9faecf4211.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:32.283ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}" loading="lazy">,</dd></dl>

also einen Beitrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5a27d7d2aff8ad46dcdc804136da92f5446130.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.242ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}" loading="lazy"> pro <a href="Freiheitsgrad" title="Freiheitsgrad">Freiheitsgrad</a> für die mittlere kinetische Energie (Gleichverteilungssatz).

Die untere und obere Gleichung zusammen liefern den Virialsatz der statistischen Mechanik:

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle H_{\mathrm {kin} }\right\rangle =\left\langle \sum _{i}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial U}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle \,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8669630c197682bfda307ce65dc7f8facecead3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:41.384ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \left\langle H_{\mathrm {kin} }\right\rangle =\left\langle \sum _{i}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial U}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle \,,}" loading="lazy"></dd></dl>

der auch in der <a href="Quantenstatistik" title="Quantenstatistik">Quantenstatistik</a> gilt.

Es ist nach Clausius üblich, den Beitrag des Potentials aufzuteilen in

<ul><li>das innere Virial, d. h. den Beitrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{\mathrm {int} }({\vec {x}}_{i})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{\mathrm {int} }({\vec {x}}_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7e775e8c07e987ddf5e8a8ae661b7e458ffc9b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.537ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V_{\mathrm {int} }({\vec {x}}_{i})}" loading="lazy"> des Potentials der inneren Kräfte (Wechselwirkung der Teilchen untereinander) und</li>

<li>das äußere Virial, d. h. den Beitrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle W=\sum _{i}W({\vec {x}}_{i})}">

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle W=\sum _{i}W({\vec {x}}_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8052a5b39acda9078ae4dc3c99a85e6dc44a87f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.548ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle W=\sum _{i}W({\vec {x}}_{i})}" loading="lazy"> des Wandpotentials bzw. der Kräfte auf die Wand.</li></ul>

Das äußere Virial liefert:

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial W}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle =p\int d{\vec {f}}\cdot {\vec {x}}=p\int dV(\operatorname {div} {\vec {x}})=3pV}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28956cd6360ca054b0bae8c526d22b20fab1f675.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:51.222ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial W}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle =p\int d{\vec {f}}\cdot {\vec {x}}=p\int dV(\operatorname {div} {\vec {x}})=3pV}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<ul><li>dem Druck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> und</li>

<li>dem Volumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">.</li></ul>

Dabei wurde über die Oberfläche (Wand) integriert und der <a href="Gau%C3%9Fscher_Integralsatz" title="Gaußscher Integralsatz">Gaußsche Integralsatz</a> angewandt.

Damit erhält man die Virialform der <a href="Thermische_Zustandsgleichung" class="mw-redirect" title="Thermische Zustandsgleichung">thermischen Zustandsgleichung</a>:

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3pV=2\left\langle H_{\mathrm {kin} }\right\rangle -\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial V_{int}}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4eca245a5b65fe17bc911e2542a0226a27ecd364.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:33.453ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle 3pV=2\left\langle H_{\mathrm {kin} }\right\rangle -\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial V_{int}}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle \,}" loading="lazy">,</dd></dl>

also für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> Teilchen mit dem Gleichverteilungssatz:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle pV=Nk_{\mathrm {B} }T-{\frac {1}{3}}\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial V_{int}}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70170882027d586e3ff972b7dd26bdaaf04847a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; margin-left: -0.089ex; width:32.924ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle pV=Nk_{\mathrm {B} }T-{\frac {1}{3}}\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial V_{int}}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

Das ist die <a href="Ideale_Gasgleichung" class="mw-redirect" title="Ideale Gasgleichung">ideale Gasgleichung</a> mit dem Virial der inneren Kräfte als Zusatzterm. Das Virial kann nach Potenzen der <a href="Teilchendichte" title="Teilchendichte">Teilchendichte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N/V}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N/V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eaa155f67e3e587c18df95a5afefbeb5201bd715.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N/V}" loading="lazy"> entwickelt werden (siehe: <a href="Virialgleichungen#Virialentwicklung:_Betrachtung_der_statistischen_Mechanik" title="Virialgleichungen">Virialentwicklung</a>) für die Entwicklung von Zustandsgleichungen für <a href="Reales_Gas" title="Reales Gas">reale Gase</a>.

Die Ableitung der Gasgleichung war das Hauptziel der ursprünglichen Arbeit von Clausius, wobei er den Virialsatz der Mechanik als Grundlage benutzte.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Virialsatz_der_Relativitätstheorie">Der Virialsatz der Relativitätstheorie</h2></div>

Es gibt auch einen <a href="Relativistisch" class="mw-redirect" title="Relativistisch">relativistischen</a> Virialsatz. Für Teilchen in Wechselwirkung mit <a href="Elektromagnetisches_Feld" title="Elektromagnetisches Feld">elektromagnetischen Feldern</a> findet er sich im Lehrbuch der theoretischen Physik von Landau und Lifschitz,<a href="#cite_note-22">[22]</a> er lässt sich aber auch für andere <a href="Fundamentale_Wechselwirkung" title="Fundamentale Wechselwirkung">Wechselwirkungen</a> formulieren.<a href="#cite_note-23">[23]</a>

Da die Spur des <a href="Energie-Impuls-Tensor" title="Energie-Impuls-Tensor">Energie-Impuls-Tensors</a> des elektromagnetischen Feldes verschwindet, kann man – unter Verwendung des <a href="Vierdimensional" class="mw-redirect" title="Vierdimensional">vierdimensionalen</a> <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatzes</a> für Systeme mit beschränkter Bewegung (Impulse, Koordinaten u. a. variieren zwischen endlichen Schranken, die elektromagnetischen Felder verschwinden im Unendlichen) – ähnlich wie beim klassischen Virialsatz durch Mittelung über die Zeit zeigen:

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\langle \sum _{i}m_{i}c^{2}{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86b89c5b927fc504c0878d99a0b39b68e18db6ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:27.932ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle E=\langle \sum _{i}m_{i}c^{2}{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<ul><li>der Gesamtenergie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle E=\int {\overline {T_{0}^{0}}}\mathrm {d} V=\int {\overline {T_{\alpha }^{\alpha }}}\mathrm {d} V}">

<mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle E=\int {\overline {T_{0}^{0}}}\mathrm {d} V=\int {\overline {T_{\alpha }^{\alpha }}}\mathrm {d} V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a80c56aa5fb4a5be717e12a5933271fd05b7e05b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.75ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle E=\int {\overline {T_{0}^{0}}}\mathrm {d} V=\int {\overline {T_{\alpha }^{\alpha }}}\mathrm {d} V}" loading="lazy"> des Systems

<ul><li>dem Energie-Impuls-Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{\alpha \,\beta }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{\alpha \,\beta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca5deac6547b2318f30dd00b859fe875cb03ef45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.333ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{\alpha \,\beta }}" loading="lazy"> des Gesamtsystems aus Teilchen und Feldern</li>

<li>dem vierdimensionalen Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0,1,2,3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0,1,2,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a7a6abe3018e4e3d9175738e4274813400a86ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.338ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0,1,2,3}" loading="lazy"></li>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f435185af6ddca37744dab28049c5b150656b9cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.004ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }}" loading="lazy">, wobei die <a href="Einsteinsche_Summationskonvention" class="mw-redirect" title="Einsteinsche Summationskonvention">Einsteinsche Summationskonvention</a> verwendet wird.</li></ul></li></ul>

Für kleine Geschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\ll c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\ll c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeae20cf8308560968c220b5c0da3d2b6a48e8d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle v\ll c}" loading="lazy"> ergibt sich die klassische Form des Virialsatzes für das <a href="Coulombpotential" class="mw-redirect" title="Coulombpotential">Coulombpotential</a>:

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E-\sum _{i}m_{i}c^{2}=-{\overline {E}}_{\mathrm {kin} }}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/003bf6814a24f08b0070b576a78b3287800f0324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.567ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle E-\sum _{i}m_{i}c^{2}=-{\overline {E}}_{\mathrm {kin} }}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei die <a href="Ruheenergie" class="mw-redirect" title="Ruheenergie">Ruheenergien</a> der Teilchen von der Gesamtenergie abgezogen werden.

Relativistische Versionen des Virialsatzes wurden schon von <a href="Subrahmanyan_Chandrasekhar" title="Subrahmanyan Chandrasekhar">Chandrasekhar</a> angewandt auf <a href="Wei%C3%9Fer_Zwerg" title="Weißer Zwerg">Weiße Zwerge</a>. Er untersuchte auch Versionen in der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> im Rahmen der Post-Newton-Näherung.<a href="#cite_note-24">[24]</a><a href="#cite_note-25">[25]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Lew_Dawidowitsch_Landau" title="Lew Dawidowitsch Landau">L. D. Landau</a>, <a href="Jewgeni_Michailowitsch_Lifschiz" title="Jewgeni Michailowitsch Lifschiz">E. M. Lifschitz</a>: Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1. Mechanik. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.</li></ul>

<dl><dd>Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.</dd></dl>

<ul><li><a href="James_Binney" title="James Binney">James Binney</a>, <a href="Scott_Tremaine" title="Scott Tremaine">Scott Tremaine</a>: Galactic Dynamics. Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.</li></ul>

<dl><dd>Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.</dd></dl>

<ul><li><a href="Wilhelm_Brenig" title="Wilhelm Brenig">Wilhelm Brenig</a>: Statistische Theorie der Wärme. 3. Auflage, Springer 1992, S. 144 f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).</li>

<li>George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://bifrost.cwru.edu/personal/collins/virial/">Online.</a></li>

<li><a href="Richard_Becker_(Physiker)" title="Richard Becker (Physiker)">R. Becker</a>: Theorie der Wärme. 1961, S. 85 (zum äußeren Virial).</li>

<li><a href="Albrecht_Uns%C3%B6ld" title="Albrecht Unsöld">Albrecht Unsöld</a>: Der neue Kosmos. Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er <a href="Bibliographisches_Institut" title="Bibliographisches Institut">B.I.</a>-Taschenbuch.)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>John Baez: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.ucr.edu/home/baez/virial.html">The Virial Theorem Made Easy.</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Rudolf_Clausius" title="Rudolf Clausius">R. Clausius</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152258/f138.image">Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.</a> Annalen der Physik, Band 217, 1870, S. 124–130.

</li>

<li id="cite_note-Goldstein-2">↑ <a href="#cite_ref-Goldstein_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-Goldstein_2-1">b</a> <a href="Herbert_Goldstein" title="Herbert Goldstein">H. Goldstein</a>: Klassische Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S. 76 f.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Die Definitionen des Virials variieren etwas, z. B. lassen sowohl <a href="Wolfgang_Pauli" title="Wolfgang Pauli">Wolfgang Pauli</a> in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor −1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.

</li>

<li id="cite_note-Honerkamp-4">↑ <a href="#cite_ref-Honerkamp_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-Honerkamp_4-1">b</a> J. Honerkamp, <a href="Hartmann_R%C3%B6mer" title="Hartmann Römer">H. Römer</a>: <cite style="font-style:italic">Klassische Theoretische Physik</cite>. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-23262-6 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=AcMoBAAAQBAJ&pg=PA43#v=onepage">Kapitel 2.12: Der Virialsatz.</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Virialsatz&rft.au=J.+Honerkamp%2C+H.+R%C3%B6mer&rft.btitle=Klassische+Theoretische+Physik&rft.date=2012&rft.genre=book&rft.isbn=9783642232626&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="Julius_Wess" title="Julius Wess">J. Wess</a>: <cite style="font-style:italic">Theoretische Mechanik</cite>. Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-74869-4 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=0bwfBAAAQBAJ&pg=PA56#v=onepage">Kapitel 13: Homogene Potenziale.</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Virialsatz&rft.au=J.+Wess&rft.btitle=Theoretische+Mechanik&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9783540748694&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Voigt-6">↑ <a href="#cite_ref-Voigt_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-Voigt_6-1">b</a> <a href="#cite_ref-Voigt_6-2">c</a> H. Voigt: Abriss der Astronomie. BI Verlag, 1980, S. 367 ff., S. 487.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Sebastian von Hoerner: <a href="Zeitschrift_f%C3%BCr_Astrophysik" title="Zeitschrift für Astrophysik">Zeitschrift für Astrophysik</a>. Band 50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Roger Tayler: Galaxien. Aufbau und Entwicklung. Vieweg, 1986, S. 120.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> A. Unsöld, B. Baschek: Der neue Kosmos. Springer, 1988, S. 346.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> F. Zwicky, Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Helvetica Physica Acta, Band 6, 1933, S. 125. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/1933AcHPh...6..110Z">Online</a>

</li>

<li id="cite_note-Chandrasekhar-11">↑ <a href="#cite_ref-Chandrasekhar_11-0">a</a> <a href="#cite_ref-Chandrasekhar_11-1">b</a> <a href="Subrahmanyan_Chandrasekhar" title="Subrahmanyan Chandrasekhar">S. Chandrasekhar</a>: An introduction to the study of stellar structure. Chicago 1939, S. 51 ff.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Wolfgang Hillebrandt, Ewald Müller: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wwwmpa.mpa-garching.mpg.de/lectures/TASTRO_SS08/tastro-2.pdf">Einführung in die Theoretische Astrophysik.</a> Skript der TU München, 2008, Kapitel 2 (PDF).

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">H. Poincaré</a>: Leçons sur les hypothèses cosmogoniques. Paris 1911.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> <a href="Arthur_Eddington" class="mw-redirect" title="Arthur Eddington">A. Eddington</a>: Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 76, 1916, 528.

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> S. Chandrasekhar: Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, 1961, S. 596.

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Henrik Beuther: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mpia.de/homes/beuther/collapse1.pdf">Sternentstehung.</a> Skript, 2009 (PDF; 2,8 MB).

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> <a href="Eugene_N._Parker" title="Eugene N. Parker">E. Parker</a>: Tensor Virial Equations. Physical Review 96, 1954, 1686–1689.

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> S. Chandrasekhar, <a href="Enrico_Fermi" title="Enrico Fermi">E. Fermi</a>: Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field. Astrophysical Journal, 118, 1953, 116.

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> S. Chandrasekhar: Ellipsoidal figures of equilibrium. Yale University Press, 2009.

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> George Schmidt: Physics of High Temperature Plasmas. Academic Press, 1979, S. 72.

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> <a href="Wladimir_Alexandrowitsch_Fock" title="Wladimir Alexandrowitsch Fock">W. A. Fock</a>: <cite style="font-style:italic">Bemerkung zum Virialsatz</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Zeitschrift_f%C3%BCr_Physik" title="Zeitschrift für Physik">Zeitschrift für Physik</a></cite>. 63. Jahrgang, Nr. 11, 1930, S. 855–858, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01339281">10.1007/BF01339281</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Virialsatz&rft.atitle=Bemerkung+zum+Virialsatz&rft.au=W.+A.+Fock&rft.date=1930&rft.doi=10.1007%2FBF01339281&rft.genre=journal&rft.issue=11&rft.jtitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Physik&rft.pages=855-858&rft.volume=63.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Landau, Lifschitz, Klassische Feldtheorie. Band 2, Akademie Verlag, 1977, S. 99 f., § 34.

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> J. Gaite: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://arxiv.org/abs/1306.0722">The relativistic virial theorem and scale invariance.</a> Physics Uspekhi, Band 56, 2013, S. 919.

</li>

<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> S. Chandrasekhar: The Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics in General Relativity. Astrophysical Journal, Band 142, 1965, S. 1488–1512, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1965ApJ...142.1488C">1965ApJ...142.1488C</a>.

</li>

<li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> George W. Collins: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://bifrost.cwru.edu/personal/collins/virial/">The Virial Theorem in Stellar Astrophysics.</a> Pachart Press, 1978, Kapitel 2.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4218966-4">4218966-4</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85143793">sh85143793</a> </div>

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Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-31" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Virialsatz&oldid=258451458">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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